Критерий Коши равномерной сходимости функциональных последовательностей

$$f_n(x) \underset{n \to \infty}{\rightrightarrows} f(x) \Leftrightarrow \forall{\varepsilon} > 0~~\exists{N_{\varepsilon}}~~\forall{x} \in X~~\forall{n, m} > N~~|f_{n}(x) - f_{m}(x)| < \varepsilon$$

$\Rightarrow$ $$|f_{n}(x) - f_{m}(x)| < |f_{n}(x) - f(x)| + |f_{m}(x) - f(x)| < \dfrac{\varepsilon}{2} + \dfrac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$$ $\Leftarrow$ $|f_{n}(x) - f_{m}(x)| < \varepsilon \Rightarrow \{f_{n}(x)\}$ - фундаментальная последовательность $\Rightarrow$ $f_{n}(x) \underset{n \to \infty}{\to} f(x)$ по критерию Коши для последовательностей $\forall{x}~~|f_{n}(x) - f_{m}(x)| < \dfrac{\varepsilon}{2}$ перейдем к пределу $m \to \infty$ $|f_{n}(x) - f(x)| \leq \dfrac{\varepsilon}{2} < \varepsilon$ $\square$